三角形的面积「三角形的面积公式」

很多时候，我们知道三角形三边的长，要求三角形的面积。你知道怎样求吗？

设三角形三边长为a、b、c，作c边上的高h把c分成两段x和y。我们的做法是先求出高h的长度，进而用最基本的面积公式S△ABC=ch/2求出三角形的面积。

三角形面积公式推导

由勾股定理得：

a2-x2=b2-y2，①

x+y=c。②

②代入①得：

a2-x2=b2-(c-x)2=b2-c2-x2+2cx，

x=(a2+c2-b2)/2c。③

③代入②得：

y=(b2+c2-a2)/2c。④

我们用③或④都可以求出h。

h2=a2-x2

=a2-((a2+c2-b2)/2c)2

=(2a2b2+2b2c2+2c2a2-a?-b?-c?)/4c2

这样得到的h有四次方，数据比较大，不太好算。我们可以想办法化成好算的形式。

我们看它的分子部分：

2a2b2+2b2c2+2c2a2-a?-b?-c?

这是一种对称形式，应该可以分解因式。那么，怎样去分解因式呢？

我们先考察以下多项式的平方：

(a2+b2+c2)2

=a?+b?+c?+2a2b2+2a2c2+2b2c2，

(a2+b2-c2)2

=a?+b?+c?+2a2b2-2a2c2-2b2c2，即

-(a2+b2-c2)2

=-a?-b?-c?-2a2b2+2a2c2+2b2c2，

这个有点像，还有一个项符号不同。

等式两边同时加上4a2b2：

4a2b2-(a2+b2-c2)2

=-a?-b?-c?+2a2b2+2a2c2+2b2c2

所以有

-a?-b?-c?+2a2b2+2a2c2+2b2c2

=4a2b2-(a2+b2-c2)2

=(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)

=((a+b)2-c2)(c2-(a2-b2))

=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)

所以，

h2=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/4c2，

h=√((a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b))/2c，

S△ABC=ch/2

=√((a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b))/4。

这个三角形面积公式没有平方项，比较好算。

还可以把4放进根号里面继续化简：

S△ABC

=√(((a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b))/16)

=√(((a+b+c)/2)((a+b-c)/2)((c+a-b)/2)((c-a+b)/2))

=√(((a+b+c)/2)((a+b+c-2c)/2)((c+a+b-2b)/2)((c+a+b-2a)/2))

(a+b+c)/2是周长的一半，记为p，则

S△ABC=√(p(p-a)(p-b)(p-c))。

这就是著名的海伦公式。这种形式计算量最小，也比较好记。

总结一下：在推导用三角形的三边长求三角形的面积时，在化简过程中遇到分解因式，最终化成比较简便的形式，便于计算和记忆。