【数量关系】一元二次函数求最值——均值不等式的应用

t【导读】

t中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来数量关系解题技巧：一元二次函数求最值——均值不等式。

t在数量关系中常见的极值问题里，有一类是一元二次函数求最值，相信大家都是能够根据题意列出式子，难点就在于解这个式子，常规的就是采用高中所学的求根公式来进行解答，这个过程就会显得慢而且计算量偏大，所以今天来给大家介绍运用均值不等式来进行求解。

t一、 什么是极值问题

t极值问题顾名思义，就是求极大值和极小值的问题，就是当题干或者问法中出现最大或最小，最多或最少，至多或至少等字眼时，那就是极值问题。

t二、 均值不等式

t1. 什么是均值不等式

t定理：若a、b是实数，(a-b)2≥0，则a2+b2 ≥2ab，等号当且仅当a=b的时候取得。

t推论：若a、b均是正实数，

t2≥0，则a+b ≥2

t，等号当且仅当a=b的时取得。

t2. 均值不等式的应用

t(1)和一定，求积的最大值

t如：若两个自然数的和为20，求这两个自然数积的最大值。

t根据推论，a+b ≥2

t，等号当且仅当a=b的时取得，可得ab≤

t2，ab要取得最大值，仅当a=b的时候取得，所以这两个数分别都是10 时，它们的积取得最大值，且最大值为

t2=100。

t(2)积一定，求和的最小值

t如：若两个自然数的积为100，求这两个自然数和的最小值。

t根据推论，a+b ≥2

t，可得a+b≥2

t=20，ab要取得最大值，所以这两个自然数和的最小值为20。

t三、 经典例题

t【例题1】 某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫，每套成本是144元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫，并提出：如果每套座垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是( )。

tA.144 B.136 C.128 D.142

t【中公解析】A 。根据题目所求为获得最大利润需售出的套数，可知此题属于极值问题。根据题意，可设每套坐垫减价2x元，那么就会多订购6x套，利润为y，得：

t，化简得：

t，要求y最大时的x，可以把(56-2x)看成一个整体a，(120+6x)看成一个整体b，就相当于求ab的最大值，根据均值不等式推论可知，当两个数的和一定，这两个数的积最大，所以去找到(56-2x)与(120+6x)的和一定即可，因为x的系数不同，所以要将x的系数化为相同两者之间的和才一定，所以可将(56-2x)提一个2，(120+6x)提一个6出来，让x的系数都为1，所以

t，根据均值不等式和一定积最大，当且仅当(28-x)=(20+x)取等号，所以28-x=20+x得出x=4，即当坐垫降价8元时，能获得最大利润，所求获得最大利润售出套数为120+6×4=144，选A。

t【例题2】某报刊以每本2元价格发行,可发行10万份,若该报刊单价提高0.2元,发行量减少5000份,则该报刊可能的最大销售收入为多少万元?

tA.24 B.23.5 C.23 D.22.5

t【中公解析】D。题目求报刊的最大销售收入属于极值问题，设报刊单价提高了0.2x，那么发行量为10000-5000x，销售收入为y，根据题意得：y=(2+0.2x)(10000-5000x)，化简原式得y=0.2×(10+x)×5000×(20-x)=1000×(10+x)(20-x)，根据均值不等式，当且仅当10+x=20-x时取等号，所以x=5，带入式子的y=1000×15×15=225000元=22.5万元，选D。

t【例题3】某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大?

tA.155元 B.165元 C.175元 D.185元

t【中公解析】D 。题目所求为日租金为多少是，日收益最大，属于极值问题。设日租金增加5x元，那么未租出的汽车多4x辆，日收益为y，根据题意可得：y=(100+5x)(200-4x)-20(200-4x)=(80+5x)(200-4x)，化简得y=20(16+x)(50-x)，根据均值不等式，当且仅当16+x=50-x时，取等号，所以x=17，既当x=17时，日收益最大，也就是当日租金为100+5×17=185时，日收益最大，选D。

t四、 小结

t利用均值不等式解极值问题时，首先要判断是否属于极值问题，然后根据题目列式，观察式子是否一元二次函数，若是最后采用均值不等式进行求解x或者进一步求解y，常用到均值不等式的和一定，积最大来进行求解。