江苏数学高考试卷「江苏高考数学试卷完整版」

大家好！本文和大家分享一道2009年江苏高考数学试卷的第一道解答题。本题综合考查了向量的计算及简单的三角恒等变换等知识，是一道非常经典的题目，对于高中学生来说，应该掌握。下面我们一起来看一下这道题。

先看第一小问：求tan(α+β)的值。

由于向量a与向量b-2c垂直，所以a·(b-2c)=0。题干中已经告诉了向量a、b、c的坐标，所以我们可以求出向量b-2c的坐标。两个向量垂直，则他们的数量积等于零，也就是对应坐标之积的和为零，这样就得到了一个关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的关系式。然后，根据两角和的正余弦公式就可以变换得到：sin(α+β)-2cos(α+β)=0，从而得到tan(α+β)=2。

另外，对于a·(b-2c)=0还有另外一种处理方式，即利用向量计算的分配律展开，得到a·b-2a·c=0。然后再用向量数量积的坐标计算方法计算就可以得到tan(α+β)的值。

再看第二小问：求b+c的最大值。

先表示出b+c的坐标，然后根据向量模长的坐标计算公式即向量的模长就等于该向量横纵坐标的平方和再开方，计算出b+c的表达式，然后再求其最大值，即求17-15sin2β的最大值，也就是求sin2β的最小值。因为sin2β的最小值为-1，所以17-15sin2β的最大值就等于17-15(-1)=32，故b+c的最大值为4√2。

另外，求向量的模长还有一个非常重要的方法就是：先平方再开方，即先算所求向量的平方，然后开方就得到了其模长。

(b+c)^2=b^2+2b·c+c^2=1+2(sinβcosβ-16sinβcosβ)+16=17-15sinβcosβ=17-15sin2β。后面的计算就和前面的方法一样了。

最后看第三小问：证明。

因为tanαtanβ=16，而a、b中的坐标都是正余弦，所以就要用到三角恒等变换中一个非常重要的技巧：切化弦，即tanα=sinα/cosα，tanβ=sinβ/cosβ。

切化弦后得到：sinαsinβ=16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0，所以a//b。

整体来说，本题难度不大，但是却非常经典，高中学生一定要掌握。