甲卷数学「全国甲卷数学难度」

2022年高考中使用全国甲卷的省份有云南、贵州、四川、广西、西藏。相比于网上闹得沸沸扬扬的新高考一卷数学题，甲卷数学题的难度要小很多。不过，这并不意味着甲卷数学题就简单，特别是经历了上午那道让人看不懂的作文题之后，考生的心态多少会受到一些影响，这在一定程度上也会影响到考生做数学题的状态。

比如下面这道数列题，本来是一道送分题，但是却有很多考生没有做出来。这道数列解答题是今年高考甲卷理科数学的第17题，同时也是高考甲卷文科数学的第18题。从题目所处的位置不难看出，这就是一道基础题，考查的是递推法求数列通项公式以及求等差数列前n项和的最值问题。

第一小问考查的是递推法求数列通项，而给出的递推关系可以看成Sn=f(an)的形式，而遇到这种形式求通项公式，思路非常简单，那就是Sn和an只保留一个，另外一个想办法消去。

具体来说，如果留an，那么由Sn=f(an)得S(n+1)=f(a(n+1))，再两式相减即消去了Sn。如果留Sn，则由Sn=f(an)得Sn=f(Sn-S(n-1))，这样就消去了an。

在本题中，先将递推关系去分母，得到2Sn+n^2=2nan+n，于是有2S(n+1)+(n+1)^2=2(n+1)a(n+1)+n+1，两式相减，整理后得到：a(n+1)-an=1，即数列是以1为公差的等差数列，结论得证。

很多考生不知道如何处理题干中的递推关系，从而导致第一小问证明不出来。其实，Sn=f(an)这种递推关系是近年来高考比较热门的一个考点，大家一定要重点掌握。

继续往下看，要求Sn的最小值，那么就需要求出an的通项公式。由(1)知，an是以1为公差的等差数列，所以a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4、a7、a9成等比数列，所以就有(a1+6)^2=(a1+3)(a1+8)，解得a1=-12。

接下来可以表示出Sn，整理后得到Sn=n^2/2-25n^2/2，这就是一个关于n且开口向上的二次函数，对称轴n=25/2，由于n为正整数，所以当n=12或n=13时，Sn取得最小值，且最小值为-78。

当然，要求Sn的最小值，也可以从an着手解决。根据前面的解题过程能够得到an=n-13，所以是一个递增的数列。由于n=13时，a13=0，所以首项到第12项都是负数，第13项为0，故Sn的最小值就是S12或S13，然后用求和公式计算出来即可。

这道题对于理科生来说真的就是一道送分题，不过对于不少文科生来说还是有一定难度的。对于想考好大学的考生来说，这题不能丢分。