对于函数的有界性(关于函数的有界性）

对于函数的概念，我们每个人都可以在书中找到。因此，在本文中重复概念是没有意义的。我们需要知道的是如何更简单通俗地理解函数的本质。

函数的键无非就是一个一一映射，所谓一一映射就是对应关系。说白了，给你一个自变量，就会有一个唯一的因变量与之对应。

这里有很多需要注意的地方。首先，我说了上面所有的自变量和因变量，但是没有提到X和y。

因为没有人规定X一定是自变量，Y一定是因变量。只要两者满足以上一一对应，Y为自变量，X为因变量，也是完全正确的。我们很多人都会陷入一种固定的思维，把遇到的每一个函数中的X作为自变量。这肯定会导致很严重的问题，不存在仅仅因为偶然而产生的问题。

其次，我们需要注意的是，函数必须满足对应关系。换句话说，定义域中的任何自变量都必须有一个因变量与之对应。当然，大家其实都能注意到这一点，所以这不是问题的重点。

接下来需要注意的第三点是问题的关键点。我们很多人容易忽略的是“独一无二”这个词。现在，如果有一个自变量，但公式生成的因变量实际上有两个，这种对应关系是函数关系吗？

当然，答案是否定的。虽然必须有一个因变量与之对应，但只能有一个。有时候我们会遇到这样的情况，前提已经是功能性的，但是一个X对应两个Y。这个应该怎么回答？

其实造成这个问题的原因是没有把函数的概念理解清楚。显然，在这类问题中，X是因变量，Y是自变量。所以只要改变一个观念，不局限于固定思维，问题就迎刃而解了。

不仅是上述情况，在很多问题上，都可以做这样的尝试。改变自变量和因变量的对应符号，可能会在瞬间降低整个问题的难度。

理解了上面的定义，其实对函数本质的理解也差不多了。接下来无非是一些观念上的问题。

如自变量、因变量、定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等。这些概念的具体内容不需要细说。每个人都可以在书中找到它们。

但这里需要注意的是，函数是有界的，相当于既有上界又有下界。如果一个函数只有上界，就不能说它是有界函数。

其次，函数有界性中的边界是一个非常模糊的概念。比如有一个函数y=sinx，我们可以说它的界是1，因为它的绝对值小于等于1。当然，前者是完全正确的，但如果我说它的界是2，那就没有错。所以我们需要区分函数的有界性和它的最大值和最小值的概念。

接下来可以举个例子，更好的区分最大值，最小值，有界性。如果现在有一个有界函数，它有最大值和最小值吗？

答案是否定的，或者说不一定。现在举个例子，有一个函数y=x，但是定义域是(0，1)，这是一个开区间。很明显，这是一个有界函数，但它没有最大值或最小值，因为无法获得它的最大值或最小值。

已经发现函数的有界性与区间有关。所以你可以通过改变音程来玩很多花样。当然，如果一个函数有一个最大值和一个最小值，那么它一定是有界的。请注意这一点。

其次，我们需要注意函数的单调性。单调性是局部性质。换句话说，这个函数可以向上、向下、向上、向下运行.并且跑出一个折线的形状，让你头晕。所以我们在判断一个函数的单调性时，往往要在分区之间做出判断。很多人直接判断它在整个范围内的单调性，这肯定是不可能的。

当然，判断其单调性也是有技巧的。这里建议先取几个点，画出函数的大致结构。

其次，单调性非常严格。请注意单调性的定义，你会发现它没有等号。如果除了x1，函数的奇偶性和周期性也有很多需要注意的地方。尤其是学了极限和导数的概念之后，玩的花样就更多了。这里简单介绍一下这篇文章。