长方体的体积计算公式(长方体的体积计算公式字母）

在长方体和正方体体积计算公式的教学中，哪种推理占主导地位？我觉得应该是演绎而不是归纳。如果是归纳，计算公式的产生过程就是一个“发现”的过程。如果是演绎，计算公式的生成过程就是一个“抽象”的过程。数学的产生有发现的因素，但更多的应该是一个抽象的过程。皮亚杰提到“反身抽象”也叫反身抽象，是数学抽象的主要方式。如果以归纳推理为主要方式，那么整个教学过程中只突出一个动作，——“计算”。在计算的过程中，找到数与数之间的乘法关系，然后得出一个一般性的结论，“长方体体积=长宽高”，接下来就是背公式和大量的运算。这种学习过程是机械的，这种“发现”也是浅薄的。因为数字间乘法关系的发现在二年级就可以完成，比如“5 04 02=40”。数学是反身抽象，对自己的行为进行反思和抽象。这种抽象是基于主体的两种行为的协调。本课中，在测量长方体体积的过程中，一个动作是“摆动”的动作，另一个动作是“计数”的动作。两个动作协调的结果就是“算计”的结论。

皮亚杰说：11岁到12岁的小学生具有体积守恒和三维测量的心理结构。学生掌握了长方体的长宽高变化时，其内部体积或方块所包含的方块可以保持不变的思想。学生知道小块做成的314、322等长方体，体积是一样的。《课程标准》还指出：以图形测量为载体，渗透测量意识，理解测量的意义，掌握测量的基本方法，从而发展学生的空间概念。为了让学生感受到“有温度的数学”的思想，通过“摆”的直观动作和“数”的思维动作的配合，抽象出长方体和正方体的体积计算公式。在一系列的思维活动中，我建构自己的直觉，试图最大化学生空间概念的最近发展区。同时，这门课程也有统一“测量”思想和方法的意图。高二一维测量，高三二维测量，高五三维测量，都在经历一个从“算”到“算”的过程。

在探索过程中，通过两个动作和两个抽象层次的配合，得出长方体和正方体的体积计算公式。第一个抽象是“对象抽象”。从实际操作出发，通过操作中“数”的动作，初步抽象出长方体的体积等于单位体积的个数。第二个抽象是将第一个“数”的动作内化，进一步抽象“长方体体积=长宽高”。在第一次用小立方体的操作中，学生已经知道长方体的体积是所包含的单位体积的个数，但是这个知识还没有内化。通过操作，便于学生将“放长方体”这个动作内化到自己的知识结构中，这是学生继续同化后续知识的基础。学生测量完成后，没有必要再去观察体积与长、宽、高的关系，因为这是“发现规律”，是一种浅薄的“发现”。让学生讲一讲如何测量长方体的体积，还是以“数”为基础，但此时数多于“动”，有充分的“操作”在里面。同学们已经跳过了动作表示，会用符号来表示体积，即“长方体体积=长(每行体积数的单位)宽(行数)高(层数)”。学习数学需要学生探索数学的起源，也就是有温度的数学。手术后，他急于下结论，违背了认知逻辑。发生认识论认为，认识的发展是随着知识本身的发展而进行的。起初，人们在测量长方体体积时，可能会经历一个漫长的“数”体积单位的阶段。虽然在课堂上要尽量缩短这个过程，但是也不要太着急。在这个操作过程中，要突出——活动的内化。如果我们总是停留在实际操作中，而未能在头脑中实现必要的重构，那就根本不可能发起任何真正的数学思维。这样，学生有了“长方体体积=体积的单位数”这一结构后，抽象程度就会提高，进入皮亚杰所说的“反身抽象”，即抽象的抽象。这时，学生们得出了“长方体的体积是单位体积的个数”的结论，对于可以测量的长方体，这是一个很好的解决方法。不方便测量的长方体怎么办？这时候学生就会想，长方体的长宽高和单位体积的个数有什么关系？一连串的问题很快在学生的脑海中激起。经过比较发现，长方体的长度相当于每行的体积单位数.于是得出“长方体体积=长宽高”，学生开始用思维去抓物体。尘埃落定，在这个不断探索和抽象的过程中，总是伴随着学生的不断发现。在这个过程中，学生体验到学习数学的乐趣。

对于长方体和正方体的体积公式，不要满足于帮助学生很好的掌握体积公式，然后机械的套用来解决所谓的问题。而是要高度重视帮助学生理解好体积公式，让学生体验公式的生成过程。这个过程是什么？是“体积的计数单位”。皮亚杰发生认识论的基本假设是“儿童的逻辑进步与相应的心理形成过程之间存在平行关系”。儿童认知的发展是通过科学概念本身的发生和发展来进行的，教师教给学生。

一个新概念要尽可能按照其自发的认知过程来进行，让学生在课堂上感受什么是“有温度的数学”。长方体或正方体的“体积公式”是一个怎样的发展过程？对于孩子来说，毫无疑问是一个“计算体积单位”的过程。小学生分阶段经历了长度测量、面积测量、体积测量。从测量的维度来说，恰好是从一维测量到二维测量，再到三维测量的过程。测量的本质是单位积累的过程。但是在积累的过程中要做必要的抽象。积累经验很重要，但结果同样重要。最后，我们应该在数学学习中抽象出逻辑数学的知识。我们所探究的体积公式仍然是“体积的计数单位”，只是数字更加简洁，这就是数学的魅力所在。正如皮亚杰所认为的，人类的知识，无论多么深刻复杂，都可以追溯到童年。

这节课的核心问题是“如何更快地测量体积？”核心目标是“体验体积公式的形成过程”。学生开始“数”体积的单位数时，都有自己的标准，有的横着数，有的竖着数，但不管怎么数，都是先数一层再数几层。对于体积单位的数量，每个学生并不一一说明。此时，学生们已经进入了正式操作阶段。在解题过程中，学生的逻辑思维占据了很大一部分。确切的说是学生边数边数。学生开始衡量前瞻性思维。他们有的摆出长方体的姿势，然后数体积单位的个数，有的摆出长、宽、高的姿势，然后算体积。然而，这样一个可操作的测量方法不足以引起学生对体积单位数的注意。接下来，学生应该思考“如何更简单地测量？”学生立刻认为用“公式”来衡量更容易，这个过程是一个“数学化”或“结构化”的过程。一开始用小正方体填满长方体体积，然后知道只要测量长方体的长、宽、高就可以知道体积。在这个过程中，学生的“数”和“数”动作协调在一起，逐渐抽象出“长方体体积=长宽高”，这“构造”了学生已有的测量手段，这也是学生对测量动作内化的结果.

就这样，体积公式悄然形成。