祖冲之是如何算出精度这么高的圆周率的？

祖冲之是中国古代著名的数学家和天文学家。他在数学上最重要的成就是史无前例地把圆周率的小数计算到了第七位。在接下来的800年里，这个精度一直是世界上最高的。当时是公元480年，一切都靠手工计算(可能连算盘都还没有出现)，计算药方很难。那么，祖冲之是如何计算出如此高精度的圆周率的呢？

圆周率的计算不是先做一个圆，然后测量周长和直径。由于误差很大，测量误差在所难免。其实古代数学家很久以前就用几何方法计算圆周率了。

祖冲之计算圆周率的方法是刘徽发明的割圆法，和阿基米德的方法有些不同。阿基米德通过外切一个圆，内接一个正多边形，计算出圆周率的上下限，因为边多的正多边形更接近圆。

刘辉的切圆技法是基于圆的内接正多边形。他用正多边形的面积来近似圆的面积。分段越多，内接正多边形和圆之间的面积越小，它们越接近。无限分割后，内接正多边形和圆将合二为一。

如上图所示，在半径为R的圆内做一个正的3 2 n (n为正整数)多边形，假设其边长为a_n，即AB=A _ n，AB的中点为P，连接OP的交圆为c，那么，AC和BC为正的32(n-1)多边形的边长，可表示为A _(n-1)。

在直角三角形AOP中，根据勾股定理：

OA^2=AP^2 OP^2

设OP=b_n，由此我们可以得到：

令PC=c_n，c_n=PC=OC-OP=r-b_n

在直角三角形APC中，根据勾股定理：

AC^2=AP^2 PC^2

由此，我们可以得到：

知道了正32^n多边形的边长后，就可以根据刘辉的多边形面积公式计算出正62^n多边形的面积。根据正多边形边长的迭代公式，对圆进行连续剖分，圆面积的计算精度会越来越高。

刘辉的方法中引入了极限和无穷小分割的思想。刘辉的方法更巧妙简洁。刘辉计算了正3072多边形，得到的圆周率是3.1416。

在祖冲之刘辉割圆术的基础上，计算了正24576边多边形，根据刘辉的圆周率不等式，其下限(圆周率的个数)为3.1415926，上限(丰数)为3.1415927。而且祖冲之还顺便给了一个大概的圆周率355/113的分数，前六位都是正确的。

祖冲之在没有计算机和算盘的帮助下，通过计算求出了乘方和平方根，并强行算出了圆周率的小数点后第七位，需要极大的毅力和艰苦的努力。由于祖冲之的努力，800年来，没有人能以更高的精度计算圆周率。