【每日一题】上一节最后的一道思考题

原名：[问题解决方法]绝对值的最小值问题

上一节提到的方法有两个局限性：

① 绝对值和绝对值之间的符号必须为“+”

② X的系数必须是1

其中，第一个限制需要通过分类讨论来解决；今天，让我们详细介绍第二个案例。

看看上一节的最后一个问题：

求下列公式的最小值，取最小值时x满足的条件

首先观察并发现X的系数不是1，所以我们暂时不能用作图的方法来计算距离。

因此，我们可以找到一种方法，将X的系数改为1，并使用提取公因子的方法。

根据对绝对值的理解，实际上，在绝对值之外可以提到2和5，即：

此时，X的系数变为1，因此我们可以使用前一篇文章中提到的几何意义进行分析。

X-2的绝对值表示从X到2的距离，X+1的绝对值表示从X到-1的距离；两个绝对值前面的2和5分别表示从X到2的距离的2倍和从X到-1的距离的5倍。

总之，标题中给出的公式的几何意义是：2乘以x到2的距离和5乘以x到-1的距离之和。此时，为了最小化这一距离的总和，我们可以根据前一篇文章的内容来考虑以下三种情况：

情况1:X与2重合，即X=2

案例2:X与-1重合，即X=-1

案例3:X在-1和2之间，即-1≤ 十、≤ 2.

让我们先验证案例1和案例2，然后直接将X的值代入公式中。

当x=2时，原公式等于2×5+5=15

当x=-1时，原始公式等于-[2]×（-1）-4]=6

在案例3中，我们结合几何意义进行思考。X介于-1和2之间，而原始公式的几何意义是X到2的距离的两倍和X到-1的距离的五倍之和。

由于距离的倍数不同，很明显，X的位置越接近-1，扩展五次后得到的数字越小，最终结果越接近最小值。因此，当x与-1重合时，它与-1的距离为0，结果取最小值，即6。

我们从这个问题中得到的启示是，在求最小绝对值的问题中，当X的系数不是1时，我们的想法是通过一些变换将其系数转换为1，然后考虑需要求最小值的公式的几何意义，以及绝对值的几何意义（距离公式），最后求出当原公式取最小值时x应满足的条件。

最后，希望同学们认真学习这个例子，掌握转化的方法，把不能直接解决的问题转化为可以直接解决和分析的方法。

思考问题：找出下列公式的最小值，以及取最小值时x所满足的条件。