小学数学——圆锥

一．概念描述

现代数学：使直角三角形的一个直角边保持周定，把这个三角形旋转一周并回到其初始运动的位置，这样描述出的形状就是圆锥体。

小学数学：小学数学教材没有明确地定义圆锥，主要是通过由实物抽象出几何图形以建立圆锥的表象。教材主要通过操作切截、展开、旋转、粘贴、制作等手段让学生认识圆锥的特征，刻画圆锥，重点是让学生通过测量与计算掌握圆锥的高和体积。

二．概念解读

(1)圆锥的认识历程

在圆锥的研究所程中主要有以下三个重要的标志。

①古希腊时期，阿基米德在《球和圆柱》中阐述了：圆锥曲面的面积，等于一个圆的面积，这个圆的半径是圆锥母线和底面半径之间的比例中项。即R的平方=lr，其中R为圆半径，l为母线，r为圆锥底面半径。

小学数学虽不涉及圆锥侧面积，但着眼于学生探索意识的培养，教师也可适当组织学生进行研究。对把侧面展开后得到的扇形，可以利用圆面积获得的经验，将扇形分割成若干三角形（如下图），其中三角形底的和（即底面圆周长）相当于长方形的长，三角形的高（母线长）相当于长方形的宽，三角形面积的和等于长方形面积的一半，即 S =πlr。

②公元前300年左右，欧几里得在《几何原本》第十二卷中使用穷竭法证明了：圆锥的体积是外接圆柱体体积的三分之一。

③我国对圆锥的研究，最早的文字记载是《九章算术》，在其“商功”章中有圆锥体积的计算方法：下周自乘，以高乘之，三十六而一，也就是V=(1/36)c2h。

上下两三千年间，人类逐步健全了对圆锥的认识，丰富了对圆锥的刻画。

(2)圆锥的主要特征

圆锥主要有以下特征。

①圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的两腰是圆锥的两条母线，底边是圆锥底面圆的直径。

②圆锥的母线都相等，它们与轴的夹角也都相等。

③平行于圆锥的底面，但不过顶点的截面是一个圆，截面面积和底面面积的比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的平方的比。所截得的小圆锥和原圆锥的体积之比等于对应高的立方之比。

④圆锥的顶点、底面圆中心、内切球中心与外接球中心共线。

三．教学建议

(1)圆锥的教学线索

圆锥的教学可以从以下两条主线（侧面积不作为教学内容）和六个维度来组织教学：

(2)圆锥的教学建议

①从实物到几何图形、从图形到概念逐步抽象，认识圆锥的特征。

圆锥是小学数学中不定义的概念。结合观察实物，通过摸一摸、看一看、想一想，从实物中抽象出圆锥的几何图形，在头脑中初步建立表象，是教学的重要环节。

认识圆锥的高是教学难点，可通过圆锥与其外接圆柱之间的联系，利用学生对圆柱高的认识建立圆锥的高。圆锥的顶点在圆柱的上底面的圆心，从而促使学生理解圆锥的高只有一条，是顶点到底面圆心的距离。

②在二维与三维的转换活动中，进一步认识圆锥的特征，发展学生的想象力。

圆锥是特殊的立体图形。通过二维的平面图形，利用学生已有知识和经验，认识三维的立体图形，是有效的学习途径。在切截圆锥实物的过程中，使学生在面与体的转化中丰富对圆锥的几何直觉；在将冰激凌包装纸剪开的活动中，使学生感受实物与相应平面几何图形之间的联系，初步认识圆锥的侧面展开图；在制作圆锥模型的活动中，体会扇形半径相等时，圆心角越大，围出的圆锥底面就越大、高度反而越矮；在旋转三角形卡片的过程中，进一步发展学生的空间想象力。

③在由猜想到验征的过程中，建立圆锥体积的计算方法。

在探究圆锥体积计算方法的教学过程中，引导学生经历猜想与驻证的过程，对于培养学生提出问题、解决问题的探索意识是十分有益的。验证过程主要有两条途径：

一条是“容积测量”的途径。如学生分组实验，一组用等底等高的圆柱和圆锥；二组的圆柱和圆锥都等底，圆锥高是圆柱高的三倍；三组的圆柱和圆锥都等高，圆锥底面积是圆柱底面的三倍；四组用不等底不等高的圆柱和圆锥分别实验，最后归纳结论。

另一条是用“等积变形”的途径。如组织学生用相同质量的橡皮泥（或石膏）分别制作圆柱及与其等底等高的圆锥，然后从个数关系推导出体积关系。

无论哪种途径，都应给予学生充分的活动时间，让学生真正去体验，使学生认识到圆柱与圆锥等底等高的充分条件和三分之一的关系，并得到自我认可的结论。

四．推荐阅读

(1)《用真开放激活学生的真思考》（余爱军，《小学数学教师》，2010年第12期）

该文主是分析圆锥体积的知识逻辑、教材呈现方式和学生学习过程中的缺失：自主建构。通过二次教学，突出对“等底等高”这个充分条件的多角度感悟和对三分之一的体积关系的直观鉴证。

(2)《“圆锥的认识”教学设计与思考》（赵东，《小学教学》，2010年第11期）

该文通篇精致，尤其对圆锥高的认识，从借助圆柱已有经验说高，到纵切圆锥直观看高，再到动手操作量高，直至依据扇形猜高等一系列活动对圆锥认识的难点问题给出高效的教学方法。