函数求导「函数求导推导过程」

来写一个softmax求导的推导过程，不仅可以给自己理清思路，还可以造福大众，岂不美哉~

softmax经常被添加在分类任务的神经网络中的输出层，神经网络的反向传播中关键的步骤就是求导，从这个过程也可以更深刻地理解反向传播的过程，还可以对梯度传播的问题有更多的思考。

softmax 函数

softmax(柔性最大值)函数，一般在神经网络中， softmax可以作为分类任务的输出层。其实可以认为softmax输出的是几个类别选择的概率，比如我有一个分类任务，要分为三个类，softmax函数可以根据它们相对的大小，输出三个类别选取的概率，并且概率和为1。

softmax函数的公式是这种形式：

S

i

=e

z

i

∑

k

e

z

k

Si=ezi∑kezk

S

i

Si代表的是第i个神经元的输出。

ok，其实就是在输出后面套一个这个函数，在推导之前，我们统一一下网络中的各个表示符号，避免后面突然出现一个什么符号懵逼推导不下去了。

首先是神经元的输出，一个神经元如下图：

神经元的输出设为：

z

i

=∑

j

w

ij

x

ij

+b

zi=∑jwijxij+b

其中w

ij

wij是第i

i个神经元的第j

j个权重，b

b是偏移值。z

i

zi表示该网络的第i

i个输出。

给这个输出加上一个softmax函数，那就变成了这样：

a

i

=e

z

i

∑

k

e

z

k

ai=ezi∑kezk

a

i

ai代表softmax的第i个输出值，右侧就是套用了softmax函数。损失函数 loss function

在神经网络反向传播中，要求一个损失函数，这个损失函数其实表示的是真实值与网络的估计值的误差，知道误差了，才能知道怎样去修改网络中的权重。

损失函数可以有很多形式，这里用的是交叉熵函数，主要是由于这个求导结果比较简单，易于计算，并且交叉熵解决某些损失函数学习缓慢的问题。交叉熵的函数是这样的：

C=?∑

i

y

i

lna

i

C=?∑iyiln?ai

其中y

i

yi表示真实的分类结果。

到这里可能嵌套了好几层，不过不要担心，下面会一步步推导，强烈推荐在纸上写一写，有时候光看看着看着就迷糊了，自己边看边推导更有利于理解~最后的准备

在我最开始看softmax推导的时候，有时候看到一半不知道是怎么推出来的，其实主要是因为一些求导法则忘记了，唉~

所以这里把基础的求导法则和公式贴出来~有些忘记的朋友可以先大概看一下：

推导过程

好了，这下正式开始~

首先，我们要明确一下我们要求什么，我们要求的是我们的loss对于神经元输出(z

i

zi)的梯度，即：

?C

?z

i

?C?zi

根据复合函数求导法则：

?C

?z

i

=?C

?a

j

?a

j

?z

i

?C?zi=?C?aj?aj?zi

有个人可能有疑问了，这里为什么是a

j

aj而不是a

i

ai，这里要看一下softmax的公式了，因为softmax公式的特性，它的分母包含了所有神经元的输出，所以，对于不等于i的其他输出里面，也包含着z

i

zi，所有的a

a都要纳入到计算范围中，并且后面的计算可以看到需要分为i=j

i=j和i≠j

i≠j两种情况求导。

下面我们一个一个推：

?C

?a

j

=?(?∑

j

y

j

lna

j

)

?a

j

=?∑

j

y

j

1

a

j

?C?aj=?(?∑jyjln?aj)?aj=?∑jyj1aj

第二个稍微复杂一点，我们先把它分为两种情况：

①如果i=j

i=j：

?a

i

?z

i

=?(e

z

i

∑

k

e

z

k

)

?z

i

=∑

k

e

z

k

e

z

i

?(e

z

i

)

2

(∑

k

e

z

k

)

2

=(e

z

i

∑

k

e

z

k

)(1?e

z

i

∑

k

e

z

k

)=a

i

(1?a

i

)

?ai?zi=?(ezi∑kezk)?zi=∑kezkezi?(ezi)2(∑kezk)2=(ezi∑kezk)(1?ezi∑kezk)=ai(1?ai)

②如果i≠j

i≠j：

?a

j

?z

i

=?(e

z

j

∑

k

e

z

k

)

?z

i

=?e

z

j

(1

∑

k

e

z

k

)

2

e

z

i

=?a

i

a

j

?aj?zi=?(ezj∑kezk)?zi=?ezj(1∑kezk)2ezi=?aiaj

ok，接下来我们只需要把上面的组合起来：

?C

?z

i

=(?∑

j

y

j

1

a

j

)?a

j

?z

i

=?y

i

a

i

a

i

(1?a

i

)+∑

j≠i

y

j

a

j

a

i

a

j

=?y

i

+y

i

a

i

+∑

j≠i

y

j

a

i

=?y

i

+a

i

∑

j

y

j

?C?zi=(?∑jyj1aj)?aj?zi=?yiaiai(1?ai)+∑j≠iyjajaiaj=?yi+yiai+∑j≠iyjai=?yi+ai∑jyj

最后的结果看起来简单了很多，最后，针对分类问题，我们给定的结果y

i

yi最终只会有一个类别是1，其他类别都是0，因此，对于分类问题，这个梯度等于：

?C

?z

i

=a

i

?y

i