函数的单调性「函数单调性的判断口诀」

函数单调性的判定可以通过做函数图像，用数形结合的方法，也可以直接运用已知函数单调性进行判断，如我们熟知的一次函数、二次函数、反比例函数等。本文主要介绍运用函数单调性定义法以及导数法来进行函数单调性的判定，并在此基础上介绍复合函数以及抽象函数单调性判定的方法和步骤。

一.定义法

1.证明函数的单调性，可以严格按照单调性定义来证明.函数单调性的定义为：

函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

2.利用定义证明函数单调性时的步骤:

（1）取值，在所给区间上任意取两个自变量x1，x2，且规定其大小，通常设x1＜x2。

（2）确定f（x1）与f（x2）的大小。通常用作差比较法，即作差f（x1)-f（x2），有时也用作商比较法，即f（x1)/f（x2）（其中f（x2）≠0）。再进行适当变形，可以对减式或者分式进行配方、分解因式法、根式有理化等.，但要注意，作差比较是与“0”相较，作商比较是与“1”相比较。

（3）根据定义，得出结论

特别提示：在选取x1，x2时必须具有任意性，属于同一区间，且规定好大小

例题

二、导数法

1.用法：若函数f(x)在区间（a，b）内可导，当f＇（x）＞0时，函数在该区间内单调递增

当f＇（x）＜0时，该函数在该区单调递减。（充分不必要条件）

2.步骤：(1）首先求出函数的定义域

（2）求函数导数

（3）令导数大于0或者小于0解出范围对应得出结论

看步骤很复杂，看完例题再回看步骤就简单些

三、复合函数单调性

1.复合函数单调性判定：

归纳此定理，可得口诀：同增则增，一减则减（同增异减）

2.求复合函数的单调区间的一般步骤

（1）分解出复合前的基本初等函数

（2）分别解出每个基本初等函数的定义域，确定出函数定义域

（3）分别确定各个单调区间

（4）若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同时单调递减，则

为增函数，若为一增一减，则为减函数（同增异减）

（5）求出相应区间的交集，既是复合函数的单调区间。

看步骤很复杂，看完例题再回看步骤就简单些

四、抽象函数单调性

判断抽象函数的单调性，由于没有具体的表达式，有些同学可能觉得判断起很难，其实，判断抽象函数的单调性只要紧扣单调性的定义并且适当运用题设条件，问题很容易迎刃而解。