函数的定义「一张图看懂函数本质」

老黄这次专门选择了一道非常简单的证明题。老黄之意不在证明题本身，而是通过这道证明题，再次明确一下凸函数的定义，包括上凸和下凸两种形式。

定义和概念最大的不同是在于，定义通常是用数学符号和数学语言来描述的，而概念则通常是可以口头表达的。因此定义往往伴随有定义公式。比如导数、积分等数学定义，都是有公式的。凸函数同样是有公式的，而且对应上凸和下凸两种情况，还有两个公式。

从准确性来说，当然是定义更加准确；但是从理解和记忆的角度来说，概念会比定义更容易理解和记忆。因此定义和概念最好结合起来，才能真正理解它们。

概念和定义的本质都是唯一的。但不同的人，可能派生出不同的概念和定义。老黄觉得，概念有多种形式，是有利的。但是定义最好统一成一种形式，这样更合理。想要理解凸函数的定义，就要深刻理解凸函数的两个定义公式，并且把它转化成属于自己的概念。

若f为凸函数，实数λ≠0，证明：

(1)若λ0，λf与f凸性相同；(2)若λ<0，λf与f凸性相反.

分析：用自己的语言表达，就是要证明凸函数与非0常数λ的积的凸性变化规律：1、若λ是正数，那么函数λf与f的凸性相同。2、若λ小于0，则λf与f的凸性相反。

这其实是非常直观的，一眼就可以看出来，不过老黄刚才已经说了，探究这个问题，并非在于问题本身。一方面直接看出来的结论，通常不能做为数学的依据，另一方面，老黄的目的是通过探究这个问题，可以加深对凸函数定义的理解。

当f上凸时，根据上凸的定义，在x1和x2之间，曲线上的任一点都不在割线的下方。如果λ大于零，两边乘以λ，不等号方向不变，得到的是λf的上凸定义公式，因此λf上凸；

若λ小于0，两边同时乘以λ, 不等号要改变方向，得到的是λf的下凸定义公式，因此λf下凸。

同理，当f下凸时，根据下凸的定义，在x1和x2之间，曲线上的任一点都不在割线的上方。

如果λ大于零，两边乘以λ，不等号方向不变，得到的是λf的下凸定义公式，因此λf下凸；

若λ小于0，两边同时乘以λ, 不等号的方向要发生改变，得到的是λf的上凸定义公式，因此λf上凸。下面是具体的证明过程：

证明：设x1,x2为任意两点, μ∈(0,1)，【通常用的是λ∈(0,1)，但这里λ已经有其它定义】

当f上凸时, f(μx1+(1-μ)x2)≥μf(x1)+(1-μ)f(x2),

若λ0，则λf(μx1+(1-μ)x2)≥μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf上凸；

若λ<0，则λf(μx1+(1-μ)x2)≤μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf下凸；

当f下凸时, f(μx1+(1-μ)x2)≤μf(x1)+(1-μ)f(x2),

若λ0，则λf(μx1+(1-μ)x2)≤μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf下凸；

若λ<0，则λf(μx1+(1-μ)x2)≥μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf上凸；

得证！

注意，λ大于0的两种情形下，λf和 f的凸性都是相同的，λ小于0的两种情况下，λ和f的凸性都是相反的。这就证明了：凸函数与正数相乘，凸性不变，凸函数与负数相乘，凸性要发生变化了。

特别的，当λ等于-1时，可以发现相反的函数f和-f，会有相反的凸性。一个上凸，一个就下凸。有兴趣的小伙伴，可以对λ取不同的值，画出图象来，就会印象更加深刻了。