球的表面积公式「球的表面积公式的四种推导方法」

高中数学：空间几何体的表面积和体积，快收藏！

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一、空间几何体的表面积

问题1：有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发，沿着圆柱侧面爬行一周，到达上底面圆周上一点B（线段AB是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多长？

平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。

（一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积

1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。

正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

◆S直棱柱侧＝ch其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高。

2、正棱锥

定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

性质：

（1）正棱锥的侧棱长相等。

（2）侧棱和底面所成的角相等。

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。

3、正棱台

定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。

侧面展开图是由各个侧面组成的。

（二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积

把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。

1、圆柱的侧面积

◆如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是

2、圆锥的侧面积

3、圆台的侧面积

3、圆台的侧面积

◆如果圆台的上、下面半径是

周长分别是

侧面母线长是

，那么它的侧面积是

二、柱锥台的体积公式

长方体的体积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm，4cm，其体积为多少，即为多少个正方体？

1、祖暅原理

两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。

2、柱体的体积公式

3、锥体的体积公式

4、台体的体积计算公式

◆柱体，锥体，台体之间的关系：

5、球体的体积公式与表面积公式

（1）利用祖暅原理可得

（2）利用极限的思想推导出球的表面积公式：S球面＝4πR2

典型例题

例1. 有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1 cm）

例2. 如图是一个奖杯的三视图，（单位：cm）试计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm3）。

例3. 一个圆柱形的锅炉，底面直径d＝1m，高h＝2.3m。求锅炉的表面积（保留2个有效数字）。

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