面面垂直「怎么证明面面垂直」

对于高三学生来说，题目不是用来“做”的，而是用来“研究”的。我们平时在做每一道数学题时，都要认真思考这道题到底考察了什么知识，需要用到什么样的方法，这些知识和方法自己已经清楚了没有，如果没有，就应该迅速对相关的内容进行复习，之后再开始思考这道题。复习这个步骤一定不能忽略，否则题做得再多，成绩也是原地踏步，因为你不会的东西不会因为做了题就会了。不复习就做题基本只是在重复训练自己会的东西，效率是极其低下的。

研究题目的过程，相当于是在与出题者对话，你可以分析出命题人的意图，想考什么，希望你犯什么错误，题目的条件与结论有何关联，哪些是关键词、关键句等等。而在书写解答过程的时候，你就相当于是在与阅卷人对话，写什么能得分，不写什么会扣分，什么东西写了也不可能给分。那么，你认为不会得分的东西就一个字也不要写。

对于高三学生来说，碰到自己不会的问题要把它看成上天对自己的恩赐，因为它告诉你，你在什么地方有欠缺，告诉你什么是你当下最需要做的事。问题总是越解决越少，当你有一天没多少问题需要解决时，名牌大学的大门就已经为你敞开了。

下面我们就来具体的“研究”一道题，看看解决一道题的完整程序是怎样的，一道题可以让我们学到多少东西。

期末模拟训练（一）第20题

针对这道题，我们需要先解决下面这些问题。

1.什么是棱柱？棱柱有什么性质？

答：两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱。棱柱的结构特点是两个底面是全等的多边形，并且对应边平行；侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等。

思考：有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱吗？（答案当然是否定的，大家可以用手边的工具拼出一个有一个侧面是矩形的斜棱柱来说明这个问题。在几何的学习中，一定是用具体、直观来理解抽象的。切记：数学首先是具体的，是看得见、摸得着的，离开具体去谈抽象是没有什么意义的。）

回到我们这道题上，由于侧棱可以不与底面垂直，所以建系是不恰当的，一旦建系处理就基本意味着本题只能得零分了。这一道题显然更适合用几何方法处理。

2.证明线线平行的主要方法有哪些？

答：(1)利用基本事实4（公理4）:平行于同一条直线的两条直线互相平行，即平行的传递性。（2）利用线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行。（3）利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

上述方法中，（2）和（3）都有一个关键词：“交线”，这是一个重要的线索。

3.如何证明两个平面垂直？

答：利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。换句话说，也就是在其中一个平面内找到（注意主要是“找”，不是“作”。）一条直线，然后证明这一条直线与另一个平面垂直。那么问题来了，在哪一个平面内找更合适，考虑到，找完之后要证明线面垂直，所以希望要证明垂直的面有尽可能多的垂直关系，通俗地说，就是希望这个面直观上更“直”一些。

总结一下，证明面面垂直的方法就是，首先在两个平面中选出相对不“直”的平面，在其中找一条直线，证明它和另一个更“直”的平面垂直（即证明条直线和该平面内的两条相交直线垂直）。

通过上面的拆解，大家可以看出，总结方法并不是背背结论就可以了，你的方法不但要有一般性，还要有可操作性，这样的方法才是有用的方法，这种方法的每一个步骤都是有清晰的数学逻辑的，这样的方法就不会只对一道题有效，你今后再碰到类似的问题，分析问题和解决问题的所有过程都是完全一致的。

4.什么叫直线和平面所成的角，如何求线面角？

在用几何法求线面时，关键是分析平面的垂直关系，只要能找到平面的垂线，问题往往就迎刃而解了。

（理清解题的思路和用到的方法，为规范解答奠定基础）

下面我们给出规范的解答，大家注意和自己的表达对比一下。

总而言之，研究数学题，要学会把脚步慢下来，只有放慢学习的节奏，才能让自己想的明白，悟的透彻，学的主动。

学习，就是埋下知识的种子，让它发芽、开花、结果。唯有细嚼慢咽，深深思考，才能让知识为我所用，达到举一反三的效果。