arctan1「反三角函数arctan值对照表」

有些数字比其他数字更容易出现在公式中。有些人甚至会说，有些数字比其他数字更重要。但是为什么呢？在这篇文章中，我将展示一些美丽的公式，它们都包含π，并试图理解为什么π在数学中随处可见。

介绍

如果π只渗透到几何和三角学领域，而不是数学的其他子领域，就不足为奇了。然而，π存在于数学的许多领域，在某些情况下，我们很难理解为什么π会出现。

π存在于数论、微积分、代数、概率论和统计学等学科中，如果你有研究，会发现它非常神奇和有趣。

π以某种形式出现，应该意味着某个地方隐藏着一个圆，而在某些情况下，似乎并没有。

回忆一下，π就是任何圆的周长除以直径得到的精确数字。

下面的公式都会出现π。我将试图解释为什么会出现（π）？

莱布尼茨公式

让我们从结果开始：

这个交替级数收敛于π/4。π为什么会出现在这个级数中？它来自于一个三角函数。已知几何级数：

当x < 1时成立。我们在两边用-x^2替换x，得到：

两边从0到1积分会得到：

其中arctan是反正切函数。

布冯针问题

在18世纪，乔治-路易·勒克莱尔，布冯伯爵提出了以下问题：

假设有一张纸，在上面画等距的平行线，然后在纸上放一根针，针的长度与两线之间的距离相等。针与其中一条线相交的概率是多少？

这个问题的答案是2/π，但是“圆”藏在哪里呢？

假设针的中心落在两条线之间，我们可以不失一般性地假设针以及两条线之间的距离是2个单位长。

设针的中心为x，我们把这两条直线放在一个坐标系中，使得最接近x的垂直线在0处穿过x轴（因此，它就扮演了第二个轴的角色）。我们可以用下图来说明：

红蓝线说明了这个实验的两种不同结果。这个圆说明了当针的中心为x时所有可能的结果。请注意，针永远不能相交于两条线，所以我们可以假设x在两条直线的中心线的左边。两条直线的中心在x=1处。

从上图可以看出cos(θ) = x，因为我们需要让x变化，所以需要反余弦函数，也就是arccos。公式变成了θ = arccos(x)。

我们需要把所有的面积比加起来，有无穷个（面积比），因为x的每一个值都会给出一个这样的比值。但我们有微积分工具，可以对x从0到1积分得到所有比值的和。

现在我们可以用分部积分法对arccos(x)求导，来证明arccos(x)的不定积分是x arccos(x) - sqrt(1- x2) + C。

最后得到 p = 2/π。这个公式中的圆来自于针的旋转对称。

欧拉恒等式

数学中最美丽的方程式当属欧拉恒等式，1748年，莱昂哈德·欧拉提出了这个方程：

正如威廉·德纳姆所说：

如果你想做加法，你需要0；如果你想做乘法，你需要1；；如果你想学微积分，你需要e；如果你想做几何，你需要π；如果你想做复分析，你需要i。这些数字都出现在了欧拉恒等式中。

它表达了两个对称之间的有趣关系。当我们用一个复数z乘以e^(πi)，得到的数字是z沿着半径为z的圆旋转π弧度得到的数字。

欧拉恒等式表达了这样一个事实：通过原点反射一个复数（即乘以-1）相当于将该数旋转180度。

这个结果中的圆，源于与上面的复指数相乘时的半圆旋转。

巴赛尔问题

让欧拉名声大噪的一个发现是下面这个令人惊讶的结果：

左边的无穷级数是所有整数平方倒数的“和”。首先，欧拉回顾了正弦函数的麦克劳林级数展开式。正弦函数可以写成幂级数。

然后除以x得到：

欧拉认为上面的左边可以看成是一个无限多项式，我们都知道多项式可以被分解成线性因子的乘积形式

其中c是一个数字，上面分母中的r是多项式的根（也称为零点）。任何多项式都可以写成这样的事实叫做代数基本定理，这是一个非常重要的定理。

欧拉认为这个定理也适用于一些“无限”多项式，如上面的幂级数。由于上述幂级数的常数项为1，显然c = 1。我们现在有

欧拉问自己这个函数的零点是什么。它们是正弦函数的零点，因此是π的整数倍。所以：

第二个等式来自于将相邻项相乘。现在需要另一个绝妙的想法。欧拉意识到隐藏在上面的二次项分母中的平方数，并想把它们从乘积中“解放出来”。这听起来很可怕，但是我们只需要得到幂级数的前两项。

显然，常数项是1。第二项呢？对于相应的无穷幂级数中的每个系数，我们只需要选择一个非常数项然后从乘积中的其他项中选择所有的1。然后，我们得到

欧拉把它和泰勒级数表达式做了比较。也就是说：

欧拉得出，右边的两个级数必须相等，也就是：

或：

再一次，我们可以解释π是如何从正弦函数的零点来的，然而，如果真的想从几何上理解这个问题，这并不是很令人满意。

高斯积分

在统计学、数论和许多其他数学领域中，一个非常重要的积分结果是：

这真的很神奇。下面这个钟形曲线下的面积是π的平方根。

有很多不同的方法来证明这一点。我最喜欢也是最优雅的方法是把笛卡尔坐标系换成极坐标。具体来说，令

现在我们计算I^2，并将其转换为极坐标：

在上面的计算中，我们对最后一个积分做了替换：r^2= u = r dr = du/2。现在，因为我们知道I一定是一个正数，得到

那么这个圆在哪呢？当我们计算I^2时，我们实际上计算了一个（三维）体积，也就是在一个具有旋转对称的二维表面下的体积。

得到的二重积分把无限多的圆面积“加起来”。把所有这些面积相加，得到的表达式不仅包含π，而且实际上等于π。

结论

看来，当π出现在一个公式中，我们可以通过某种隐藏在公式中的旋转关系来解释它。即使我们不能一眼看到它，但它肯定就在那里。

关于π的讨论还可以有很多，例如为什么用几何方法解释这类问题这么难，而用代数和微积分就（相对）容易了呢？