在直角三角形abc中「证明三角形abc是直角三角形」

三角形的证明题

三角形ABC是直角三角形，D、E两点将斜边三等分点，∠DCE=α,

证明 tanα=3ab/(2c2)

证法1：如图α=90°-β-γ

tanβ=(a/3)/(2b/3)=a/(2b)

tanγ=(b/3)/(2a/3)=b/(2a)

tanα=tan(90°-β-γ)

=cot(β+γ)

这里要用到一个三角函数公式：

所以tanα=tan(90°-β-γ)

=cot(β+γ)

=（1-tanβtanγ）/(tanβ+tanγ)

=［1-(b/2a)(a/2b) ］/(b/2a+a/2b)

=(3/4)x2(+)/ab］

=3/(2ab) (根据勾股定理)

证法2：在直角三角形的基础上做矩形ACBF，延长CD到AF交点是G;延长CE到BF交点为H.

由于三角形ADG相似于三角形BDC，三角形BEH相似于三角形AEC，所以很容易得知，

G是AF的中点， H是BF的中点。因此有下列表达：

tan∠ACG=a/2b

tan∠BCH=b/2a.

由于tanα=cot(90°?α),可以得出：

上面最后一步用到了勾股定理。

证法3：如图做两条底边的垂线，

tanβ=(b/3)/(2a/3)=b/2a

tan(α+β)=(2b/3)/(a/3)=2b/a

tanα=tan［(α+β)- β］

=［(tan(α+β)-tanβ) ］/ ［1+tan(α+β)tanβ］

=(2b/a-b/2a)/(1+2b/a. b/2a)

=(3b/2a)/(1+/)

=3ab/