高考数学选择题「最难的高考数学题」

这是2022年高考理科数学全国甲卷的一道关于正弦函数的极值点和零点的问题。按理来说，这类题目不会很难。但是老黄却觉得这道题正面突破非常困难，就是当做解答题来做的话，就算一道特别难的题目。作为选择题，我们有更多的选择，不过就算用合适的方法，也不会很容易。

设函数sin(ωx+π/3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是

A. [5/3, 13/6)； B.[5/3,19/6)； C. (13/6,8/3]； D. (13/6,19/6]

分析：为了描述方便，把正弦函数记为f(x)=sin(ωx/3+π/3). 这道题比较合适的方法，是通过检验区间端点来排除掉所有错误的选项。比如A，B选项的区间左端点都是5/3，包括5/3. 而C，D选项的区间上都不包含5/3. 所以我们可以检验当ω=5/3时，函数是否符合条件。如果符合，就排除C，D，如果不符合，就排除A，B.

若ω=5/3, f(x)=sin(5x/3+π/3), 此时最小正周期t=6π/5π, 也就是说，正弦函数在(0,π)上不足一个周期。而正弦函数的一个周期上只有两个极值点，无法满足题目“恰有三个极值点”的要求。因此排除A,B.

接下来观察C，D两个选项的区间的不同。发现若ω=19/6符合，就选D，不符合就选C。千万不要傻傻地去检验ω=8/3哦。这样做肯定是符合条件的，而且并无法排除掉C，D中的任一个选项。因为C，D选项的区间上都包含了ω=8/3。

若ω=19/6, f(x)=sin(19x/6+π/3), 最小正周期t=12π/19<π, 最小正周期满足条件了。但这并不说明所有条件都满足。接下来检验零点的情况，即当f(x)=0时, 19x/6+π/3=kπ (k∈Z)。

x=(6k-2)π/19, 解0<(6k-2)π/19<π，得1/3<k<7/2。可见，当k=1, 2, 3时，函数各有一个零点，一共有三个零点，与题目“恰有两个零点”矛盾。这就可以排除D了。答案选C。

不过我们平时学习，不能这样就算了，还应该分析一下极值点的情况。不过这次老黄不选择ω=19/6来检验。因为它已经被排除了。老黄选择ω=8/3来检验，同时也检验一下零点的情况。

若ω=8/3时, f(x)=sin(8x/3+π/3), k∈Z, 当f(x)=0时, 8x/3+π/3=kπ, π=(3k-1)π/8。

解0<(3k-1)π/8<π，得1/3<k<3. k=1,2, 可见f(x)在(0,π)恰有两个零点.

当f(x)=±1时, 8x/3+π/3=π/2+kπ, x=(1+6k)π/16, 这是f(x)取极值的情况。不管是极大值1还是极小值-1，都可以统一成这个形式。

解0<(1+6k)π/16<π，得-1/6<k<5/2. k=0, 1, 2. 即f(x)在(0,π)恰有三个极值点.

如果你有兴趣，还可以继续检验ω的其它取值的情况，作为一种练习。不过，更大的挑战是用一般的方法，正面突破它，当做一道解答题来完成。老黄自认智商太低，做不到。但那重要吗？重要的不应该是你自己把它解决了吗？如果讨论的小伙伴多了，并且还是找不到正面突破的方法，笨笨的老黄自然会笨笨地继续努力去把它找出来的。