小学六年级数学题目：圆锥的表面积最大是多少

今天老黄绞尽脑汁设计了一道小学六年级的数学几何题，帮助孩子拓展数学思维能力。标题是这样的：

如下图所示，是一个圆柱体。将其展开并切割成表面积最大的圆锥体。如果底面不变，问：圆锥体的最大表面积是多少？(已知圆锥侧面积公式：S边=rl，其中R为底半径，L为侧展开图的扇形半径，取=3.14，保留两位小数为结果)

解析：圆锥侧面积公式虽然小学没有涉及，但公式已经给出，题目中也有介绍。这种题被老黄称为“学用”，小学很少，中学很多。也是老黄所教的大多数学生最害怕的题型。老黄不明白这一点，因为老黄在学习的时候，觉得如果把试卷上的题都给了，张章就能拿满分。但是即使是老黄教过的最聪明的学生也害怕这种问题，所以老黄决定从小学开始培养学生解决这种问题的能力。

要解决这个问题，首先要知道圆柱体的展开图是什么样子的。如下图，由两个底圆和一个矩形组成。矩形的水平边等于底部的周长。

那么你需要知道圆锥展开图的形状。如下图所示，由一个底面(这里要求底面不变，仍然是直径等于4的圆)和一个扇形组成。扇形的弧长等于底部的周长。

下一步是用题目中给出的公式求圆锥体的表面积。但是，上图并不是锥面面积最大的情况。但是，应该有很多同学用这个圆锥体的表面积来回答，这是错误的。

虽然题目要求表面积最大，但是底面是一定的，所以实际上求的是侧面积的最大值。观察圆锥的侧面积公式，s边=rl，其中r在这里是一个固定值，即底半圆的弧长，或底圆周长的一半。因此，l越大，横向面积越大。也就是说，如果要取横向面积最大的圆锥体，必须保证圆锥体扇形边的半径最大。所以，比较聪明的同学会想到下图的情况。

那么上图是横向面积最大的圆锥体吗？其实不是我们要的圆锥体展开图。不过一般学生能考虑到这一点就不错了。

那么横向面积最大的圆锥体是哪一个？看下图，就是将圆柱体的侧面展开图向任意方向旋转90度。因为底圆的周长大于圆柱体的高度，此时圆锥侧的扇形展开半径更大，得到的侧面积更大，这也是最大的情况。能想到这里的同学可以说是相当有天赋的，在这个年纪数学思维能力已经达到了一定的高度。

下面是如何组织解题过程：(题目还没写完，后面会有拓展)

圆锥底的面积为：s底=R2=3.14 x(4/2)2=12.56；

当圆锥侧展开图的半径为：l=C底=d=12.56时，

侧面积为：s边=rl=3.14X2X12.56=17.8768，

圆锥体的最大表面积为：S=S底S边=12.56 17.8768=30.436830.44。

答：锥体的最大表面积约为30.44。

这个问题的单元被省略了。为了防止学生对单位的混淆，可以加上单位厘米和平方厘米。

其实这个问题在这里可以进一步探讨。注意“根据地不变”是我们题目里定义的。但是，如果底部面积是可变的，您也可以得到表面积更大的圆锥体，如下所示：

注意，图中的圆比原来的底圆面积更大，周长更长，导致边上面积更大。但是，这个变化之后，小学生肯定找不到答案了。即使是高中生，恐怕也会相当困难。不信你可以试试。