关于数学的问题(数学解答）

作者王元

来源 《数学通报》 2002年第12期

《中国图书商报》编辑部让我为新出版的《陈省身文集》写一篇书评。我真的不配。但我还是乐于写一篇读后感，谈谈我学习《文集》的心得，与读者交流探讨。

中国的现代数学研究起步不到一百年，从无到有，取得了长足的进步。应该认真研究和总结，尤其是那些无论是对数学本身还是对中国数学都做出巨大贡献的领军数学家。陈老师无疑是其中之一。正因如此，我一直关注并认真思考陈先生的科普著作和演讲。1989年，科学出版社出版了《陈省身文选》，使我们得以系统地了解他的经历和工作大纲。这本由华东师范大学出版社出版的《文选》为《文选》增加了许多有价值的文章，但也删除了少数文章。

这本书分为七个部分。实际上，它由四部分组成。一是对其学术著作的介绍；另一本是他的生平，老师朋友学生回忆录。除了一篇关于Gauss-Bonnet公式的文章(见目录号51)之外，它都是综述性的或受欢迎的文章。除了专业性很强的评论文章(这部分我只略知一二)，大部分人都能看懂并从中受益。以下是我的几点经验：

陈老师教我们知道什么是好数学，什么是坏数学。他在平面几何和奥林匹克数学题中引用了拿破仑定理。这些问题都很有趣，但都不是好数学(见43)。因为这些问题无法继续发展。早在1932年，他21岁的时候，就已经觉得射影微分几何不够深刻，意识到“大微分几何”，即研究微分流形上的几何性质，才是正确的方向。尤其是在听了blaschke的“微分几何的拓扑问题”系列报告后，他增加了信心，尽管那只是“一座美丽的山，他不知道如何去攀登”(见7)。从那以后，他一直为这个理想而努力，锲而不舍。在20世纪40年代，当他去美国时，微分几何并没有受到重视。没有这门选修课(见79)，甚至有数学家对陈老师说：“微分几何死了。”但这并没有影响他的信心。最后，他能够给出高维流形中Gauss-Bonnet公式的内在证明，即仅依赖于距离定义的证明。粗略地说，这个公式的经典形式是指曲面上的高斯曲率积分(定义为每个点的局部不变量)等于曲面的欧拉特征(定义为曲面上的全局不变量)。在陈老师工作之前，这个公式的推广是有条件的，所以是一个外部证明。高维流形上的Gauss-Bonnet公式是整体微分几何的基石，导致他引入并表达了极其重要的“显类”。这些研究是“对整个微分几何的杰出贡献，对整个数学有深远的影响”(见14)。陈老师的工作在振兴和开拓微分几何方面发挥了历史性的作用(见78、79等。).

你要有广博的数学知识和判断、辨别的能力。陈老师对数学有整体的认识。他的视野涵盖了数学的方方面面。在1948年的一篇文章中(见55)，他列举了1943年至1947年世界上9项重要的数学工作，其中数论实际上占了4项。它们是Mann解决的和猜想及其应用；西格尔在二元二次型方面的工作及其对代数数域中Waring问题的推广；达文波特、莫德尔和马勒对数的几何的贡献：伯杰对黎曼假设的贡献，他证明了黎曼Sita函数的实部是零点的一半并且存在正测度。这一成果一度为伯格赢得了1950年的菲尔兹奖，并深深打动了评审团。在此期间，解析数论发展得很好。陈老师注意到了，把这件事告诉了中国数学家。从贡献的重要判断和叙述的准确程度来看，陈老师一定在数论上花了不少功夫，可以认为他对数论非常精通。虽然他从未发表过关于数论的文章。1947年，陈先生在一篇关于拓扑学的通俗文章(见54)中，提到了一个著名的未解难题“四色问题”。他对这个问题作了如下评价：“由于他的困难，对这个问题的兴趣不如其他许多未解决的基本问题重要”。这个预言被多年后的事实所证明。事实上，“四色问题”的研究并没有给数学带来显著的新思想、新方法。几年前，有人声称他们可以编写一个计算机来解决这个问题，但这和数学的逻辑推导不是一回事。在另一篇文章(见57)中，陈先生指出“几何中的第一个问题可能仍然是所谓的庞加莱猜想：单个连通的三维闭流酷似三维球面”。事实上，这个问题已经变得越来越基本和重要。由于他们在这个问题上的贡献，几位数学家获得了菲尔兹奖。陈老师花了很多时间研究中国数学史(见52)。他对中国数学的阶段和性质的认定和评价，在我看来是经过深入研究后得出的结论，令人信服，值得认真研究和思考。

从上面的例子不难看出，陈老师的学识、执着的精神、对数学的整体理解、洞察力和远见卓识都是令人惊叹的，这也是作为数学家的可贵品质，所以他的成功绝非偶然。

除了研究一个数学家的数学工作，还要研究他的人生观和看待事物的观点。其实两者还是挺有关系的。陈老师是一个淡泊名利的人。数学不包括在诺贝尔获奖项目中。在关于“诺贝尔数学奖”的文章中(见48)，陈先生作出了如下结论：“这是一个安静的世界，是一个平等的世界。总的来说，我觉得诺贝尔奖不来是数学之福。”。陈先生谈了很多关于安静、自由、平等的话，早在1926年他的两首诗里就透露出来了(见70、71)。陈老师在很多文章中要求大家淡泊名利。恐怕也是由于国内数学界一些人的浮躁情绪，急于求成，过分看重奖励和荣誉。比如，陈老师在谈到数学史方面的著作时指出，“好像是‘新闻聚会’，比如谁得了什么奖，谁开了什么会之类的新闻。这很少涉及数学发展的真正关键”。陈老师在谈到国际数学家大会的宣讲时指出“反正就是新闻，结束了”。“很多优秀的数学家从来没有在国际数学家大会上做过演讲，但这并不影响他们的学术地位”(见14)。在谈到获奖时，陈先生列举了大数学家黎曼的获奖申请未获批准的事实(见59)，并以中国杰出数学家周伟良为例。陈先生评论说，“我认为这是科学院的一大损失”(见14)。参观完罗汉堂，他多次说：“名利要看淡。人家只记得几个菩萨，却记不住罗汉！”其实想成为数学五百罗汉之一也不容易！陈老师谆谆告诫大家不要“虚名飞升，数学退步”(见37)。我在这里引用这些话，绝不是说奖励和荣誉不好。其实陈老师本人也获得过很多奖励和荣誉。我们应该向陈老师学习的是，他总是以平常心对待这些事情，总是把数学放在第一位。

看这本书的时候，我也对一些地方有不同的看法。比如陈老师在谈到“几何原点”时写道：“它的主要结论有两个：(1)毕达哥拉斯定理，(2)三角形的三个内角之和等于180，……”(见63)。我认为“素数的个数是无穷的”应该也是一个同样重要的定理。从这个定理开始，持续了两千年的素数理论研究在数学中有了独特的地位，至今仍有巨大的魅力和挑战。

总之，这本书的出版，是研究一位为数学和中国数学发展做出突出贡献的数学家的好材料。我们感谢编辑张奠宙和王善平的努力和工作。我们应该认真地阅读、学习、研究这本书，并从中获得尽可能多的教益。因此，我要热情地向数学家和历史学家推荐这本有价值的书。