勾股定理的证明方法「勾股定理400种证法图解」

勾股定理的证明

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572年?～公元前497年?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。

欧几里得的证法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中∠A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

证明如下：

如图，分别以AB、BC、CA为边作正方形BAGF、CBDE、ACIH. 过A作BC的垂线AK，延长AK交DE于L。连结AD、FC。

在△ABD与△FBC中，AB=FB, BD=BC,

∠ABD=∠FBC. ∴ △ABD≌△FBC

∴ △ABD与△FBC的面积相等。

又 ∵ 在△ABD与矩形KBDL中，同底BD, 等高。

∴ △ABD面积=矩形KBDL的面积的一半。

同理可证，△FBC的面积=正方形BAGF面积的一半。

∴ 矩形KBDL的面积=正方形BAGF的面积。

同理可得 矩形CKLE的面积=正方形ACIH的面积.

∴ 正方形BDEC面积=矩形KBDL面积+矩形CKLE面积=正方形BAGF面积+正方形ACIH的面积.

∴ BC的平方=AB的平方+AC的平方

也即：AB的平方+AC的平方=BC的平方

即两条直角边的平方和等于斜边的平方

毕达哥拉斯