全国卷3数学「全国卷3数学原卷」

大家好！本文和大家分享一道2005年高考数学压轴题。这是2005年全国3卷的理科数学压轴题，当年使用本套试卷的省份有四川、陕西、云南、甘肃、贵州、内蒙古、宁夏等。这道题考查的是导数与函数单调性及值域、存在性问题等知识，当年难住了不少考生，现在的学生却说也不过如此。

先看第一小问：求函数的单调区间和值域。

对于复杂函数来说，导数是研究其单调性的重要方法。即当导数大于零时，函数为增函数；当导数小于零时，函数为减函数。需要注意的是，如果导数是大于等于零或者小于等于零一定要检验导数为零时x的值的个数。

由f(x)=(4x^2-7)/(2-x)得，f'(x)=-(2x-1)(2x-7)/(2-x)^2。当f'(x)=0时，x=1/2或x=7/2，从而可以找出f'(x)、f(x)随x在[0,1]的范围内的变化情况。从而得到函数的单调区间及值域。

再看第二小问：求参数的取值范围。

这一问实际上考查的是存在性问题，将题干的意思转化一下就是：函数g(x)的值域包含了函数f(x)的值域。由(1)可知函数f(x)的值域为[-4,-3]，所以，接下来需要求出函数g(x)的值域。

由g(x)=x^3-3a^2x-2a得，g'(x)=3x^2-3a^2=3(x^2-a^2)。由于0≤x≤1且a≥1，则g'(x)≤0，也就是说g(x)在[0,1]上是减函数。所以，g(x)的最大值为g(0)=-2a，最小值为g(1)=-3a^2-2a+1，即g(x)的值域为[-3a^2-2a+1,-2a]。

由于g(x)的值域包含f(x)的值域，所以有-3a^2-2a+1≤-4且-2a≥-3，从而解得1≤a≤3/2。

说到存在性问题，那么就不得不提到恒成立问题。对很多学生来说，存在性问题和恒成立问题是比较容易搞混淆的两类题型。比如说我们将这题稍微改变一下，改成“对任意0≤x0≤1，恒有g(x0)=f(x)成立”，这样就变成了一个恒成立问题。此时解题时就成了g(x)的所有函数值都在f(x)的值域中，即g(x)的值域包含于f(x)的值域，从而得到-3a^2-2a+1≥-4且-2a≤-3。解出后得到此时a的取值范围。

作为一道压轴题，对于现在的学生来说本题的难度确实不算大，这也与2005年高考数学的整体难度偏低有关系。