数学分析的基础(什么的逻辑顺序是建立数学分析的基础）

分析是数学中处理极限和相关理论的一个分支，通常在实数和复数以及函数的背景下进行研究。分析从微积分演化而来，微积分涉及分析的基本概念和技术。分析可以区别于几何；但是，它可以应用于任何具有邻近定义(拓扑空间)或对象间特定距离定义(度量空间)的数学对象空间。

历史

阿基米德穷举法是通过求边数越来越多的正多边形的面积来计算圆内的面积。这是极限的一个早期但非正式的例子，极限是数学分析中最基本的概念之一。无穷小的明确用法出现在阿基米德的《机械定理方法》中。

公元3世纪，中国数学家刘徽用穷举法求圆的面积，公元5世纪，祖冲之建立了后来称为卡瓦列里原理的求球体体积的方法。

数学分析的现代基础建立于17世纪的欧洲。这从费马和笛卡尔发展解析几何开始，是现代微积分的先驱。费马不等式方法使他能够确定函数的最大值和最小值以及曲线的正切值。笛卡尔在1637年出版的《几何学》中引入了笛卡尔坐标系，被视为数学分析的建立。

18世纪，欧拉引入了数学函数的概念。当伯纳德博尔扎诺在1816年引入连续性的现代定义时，实分析开始作为一门独立的学科出现，但博尔扎诺的工作直到20世纪70年代才广为人知。1821年，柯西开始在坚实的逻辑基础上建立微积分，拒绝了早期工作，尤其是欧拉工作中广泛使用的代数一般原理。相反，柯西用几何思想和无穷小解释微积分。所以他对连续性的定义要求x的无穷小变化对应y的微小变化，他还引入了柯西序列的概念，开创了复分析的形式理论。泊松、约瑟夫刘维尔和傅立叶研究了偏微分方程和调和分析。这些数学家和其他人的贡献发展了极限方法的(，)定义，从而建立了现代数学分析领域。

黎曼在19世纪中叶介绍了他的积分理论。19世纪末，威勒斯特拉斯对该分析进行了算术分析。他认为几何推理在本质上是误导的，并引入了-极限的定义。戴德金通过戴德王的除法构造了实数，其中对无理数进行了形式上的定义，以填补有理数之间的“空隙”，从而创造了一个完备集：实数的连续统。这完善了极限的概念。

此外，还研究了无处连续函数、连续但无处可微函数、空间填充曲线等特殊情况。在这种情况下，乔丹发展了他的测度论，康托尔发展了所谓的朴素集合论，贝尔证明了贝尔的范畴定理。20世纪初，公理集合论使微积分形式化。勒贝格解决了测量问题，希尔伯特引入希尔伯特空间求解积分方程。范数空间的思想开始形成，然后巴拿赫创立了泛函分析。

重要的概念

度量空间

在数学中，度量空间是一个集合，其中定义了集合中元素之间的距离(称为度量)的概念。

形式上，度量空间是一个有序对，其中它是一个集合和一个上的度量，并且有一个函数。

是的，以下情况成立：

,

,

通过获得第三个条件并使，可以得到。

和序列限制

序列是一个有序的列表。像集合一样，它包含成员。与集合不同，顺序很重要，完全相同的元素可以多次出现在序列中的不同位置。最准确地说，序列可以定义为定义域是可数全序集的函数，例如自然数。

序列最重要的属性之一是收敛性。简单来说，一个数列有极限，它就收敛。

当一个序列逼近某个点X时，它有一个极限，这个极限可以用形式来解释。对于一个抽象序列(n从1到无穷大)，当n 时，x与x的距离接近于0，表示为