2022年高考数学压轴题：甲卷数学真的很简单吗？

2022年高考数学试卷包括新高考一卷(不分文理科)、新高考二卷(不分文理科)、甲卷(分文理科)、乙卷(分文理科)、浙江卷(不分文理科)以及因疫情延期的上海卷。从目前已经考过的试卷来看，整体难度最大的无疑是新高考一卷，据说新高考一卷地区不少考生考过数学后都哭了。

看过新高考一卷数学，再看全国甲卷数学，不少网友都觉得甲卷数学真简单。那么问题来了，对于考生来说甲卷数学真的很简单吗？我问过一些考生，他们觉得甲卷数学谈不上多简单，比如选择题的压轴题，学校不少班级都出现了全军覆没的情况。本文就和大家一起来看看甲卷数学的选择压轴题。

这是一道比较实数大小的题目，但是综合性非常强，所以难度也很大。很多考生看到题目后都知道要构造函数，然后通过函数单调性来求解。但是究竟该构造什么样的函数却难住了包括学霸在内的众多考生。当然，还有一些超级学霸一眼就看出来可以用泰勒展开式进行求解，但是泰勒展开式在高中阶段属于超纲内容。那么不用泰勒展开式又怎么求解呢？

我们先观察一下a、b、c，可以发现很难通过构造一个函数就比较出它们的大小，所以需要构造多个函数分别比较。

先比较a和b。构造函数的关键就是找到所构造函数的解析式，那么a和b究竟该怎么构造呢？显然，b构造起来比较简单，cosx就能满足条件，那么a该怎么构造呢？b是x=1/4时cosx的值，那么也就是说我们需要将a用1/4给表示出来，此时能够想到的表达式有很多，比如31x/8、31x^2/2、1-x^2/2等。但是，我们构造的目的是比较a、b的大小，所以我们通常还需要作差处理，并且作差后要与0比较，所以将a看成是函数1-x^2/2更加合适。

接下来，我们令f(x)=1-x^2/2-cosx，0≤x≤π/2。则f'(x)=-x+sinx，f''(x)=-1+cosx≤0，所以f'(x)为减函数，故f'(x)≤f'(0)=0，即f(x)为减函数。所以f(1/4)＜f(0)=0，即a＜b。

接下来再比较b和c。这里需要用到一个高中阶段经常用到的放缩关系，即0＜x＜π/2时，有tanx＞x。这个放缩关系的证明很简单，可以用三角函数线也可以构造函数y=tanx-x用导数证明，这里就不赘述了。根据上面的放缩关系可知，tan(1/4)＞1/4，即sin(1/4)/cos(1/4)＞1/4，即4sin(1/4)＞cos(1/4)，从而得到c＞b。

这儿为什么想到先比较b、c而不是比较a、c呢？因为b、c都是三角函数，处理起来更方便。

虽然这道题可以用泰勒展开式快速求解，但是个人的观点是对于这种超纲内容还是少用为好，否则以后将会有更多超纲内容进入中小学教材。这样导致的后果一是违背了教材编写的初衷，二是大大增加了学生的学习负担，与减负政策背道而驰，所以还是尽量用当前阶段学习的内容来解决更好。